2-3數字系統               ﹝回首頁﹞

(一)十進位數字系統

      10進制系統是以10為基底，簡單來說就是『逢十進位』的數字系統。

共有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9等十個符號，再加上位數(每個位數表示十的不同乘冪)就可以表示出數值的大小，例如24596其意義就是代表著：

數字

2

4

5

9

6

次方

104

103

102

101

100

位值

萬

千

百

十

個

說明：

24596

=2x104+4x103+5x102+9x101+6x100

=20000+4000+500+90+6=(24596)10

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

各進位間轉換

(二)二進位數字轉換為十進位

       2進制系統是以2為基底，簡單來說就是『逢二進位』的數字系統。

二進位(Binary)的運算原理與十進位一樣，其主要差異就是只有0,1兩個符號，再加上位數(每個位數表示二的不同乘冪)就可以表示出數值的大小，例如100111其意義就是代表著：

數字

1

1

1

1

次方

23

22

21

20

十進位

8

4

2

1

說明：

(1111)2

=1x23+1x22+1x21+1x20

=8+4+2+1

=(15)10

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

如果要將二進位變換成十進位，其方法與過程如下：

步驟１：二進位數最右數字乘１﹝ 即等於乘上(2 0)﹞

步驟２：二進位數次右數字乘２﹝ 即等於乘上(2 1)﹞

步驟３：二進位數再次右數字乘４﹝ 即等於乘上(2 2)﹞

步驟４：依次類推，以十進位的加法將之得數加起來即可得出相等的十進位數。

　   舉列來說，以二進位數字系統表示100111的值應為：

       100111=1x25+0x24+0x23+1x22+1x21=32+0+0+4+2+1 =(39)10

　　若含小數點則如下：

　   (111100.111)2=1×25＋1×24＋1×23＋1×12＋0×21＋0×20＋1×2-1＋1×2-2＋1×2-3 =(60.875)10

92(     )二進位表示法為1111，其十進位表示法為256。

539(     )下列那一個數字不是二進位數的表示法？(1)101(2)1A(3)1(4)11001。 

(三)八進制數字轉換為十進位

8進制系統是以8為基底，簡單來說就是『逢八進位』的數字系統。

八進位數字系統是以0，1，2，3，4，5，6，7共8個數字為基本符號來表示數字，再加上位數(每個位數表示八的不同乘冪)就可以表示出數值的大小，例如123其意義就是代表著：

數字

1

2

3

次方

82

81

80

十進位

64

8

1

說明：

(123)8

=1x82+2x81+3x80

=64+16+3

=(83)10

如果要將八進位變換成十進位，其方法與過程如下：

步驟１：八進位數最右數字乘 1﹝ 即等於乘上(8 0)﹞

步驟２：八進位數次右數字乘  8 ﹝ 即等於乘上(8 1)﹞

步驟３：八進位數再次右數字乘 64 ﹝ 即等於乘上(8 2)﹞

步驟４：依次類推，以十進位的加法將之得數加起來即可得出相等的十進位數。

101(     )八進位表示法為123，其十進位表示為83。

(四)十六進制數字轉換為十進位

16進制系統是以16為基底，簡單來說就是『逢十六進位』的數字系統。

      十六進制以16為底的數字系統，使用0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，A，B，C，D，E， F(A代表10，B代表11，C代表12，D代表13，E代表14，F代表15)等合計16個基本符號來表示數字。再加上位數(每個位數表示十六的不同乘冪)就可以表示出數值的大小，例如7D1其意義就是代表著：

數字

7

D

1

次方

162

161

160

十進位

256

16

1

說明：

(7D1)16

=7x162+Dx161+1x160

=1792+208+1

=(2001)10

如果要將十六進位變換成十進位，其方法與過程如下：

步驟１：十六進位數最右數字乘 1﹝ 即等於乘上(16 0)﹞

步驟２：十六進位數次右數字乘  16 ﹝ 即等於乘上(16 1)﹞

步驟３：十六進位數再次右數字乘 256 ﹝ 即等於乘上(16 2)﹞

步驟４：依次類推，以十進位的加法將之得數加起來即可得出相等的十進位數。

97(   )十六進位表示法為7D1，其十進位表示為2001。

(五)十進位數字轉換為二進位

1.一般均採用除法：     

如果要將十進位整數部份變換成二進位，其方法與過程如下：

步驟１：將進位的數除以2，求其商及餘數

步驟２：若商不為1，則繼續步驟１，否則進行步驟３

步驟３：把經連除２的餘數，依序由右向左排列，而得相當的二進位數

【例】將(39)10換算成二進位

             商           餘數

39 ÷2＝19………1           ↑    

19 ÷2＝ 9……… 1           │

9 ÷2＝   4……… 1           │

4 ÷2 =    2……… 0           │

2 ÷2 =    1……… 0           │

          ────────┘  寫法為由下而上

答案：(39)10＝(100111)2

2.採簡化法：     

       將所要轉換的十進位數字去作下列表格之分配。方法為去先行減去比該十進位數字小之表格中之被減數後，將對應到的表格填上1，再將其餘數同樣去減去比該餘數小之表格中之被減數後，將對應到的表格填上1，直到餘數為0止。此時再將沒有填到之表格補0。

數字

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

次方

28

27

26

25

24

23

22

21

20

2-1

2-2

2-3

被減數

256

128

64

32

16

8

4

2

1

0.5

0.25

0.125

填入1和0

1

1

1

1

1

1

1

　

　

　

　

　

　

　

【例】將(60.875)10換算成二進位

                                                                60.875

                                                           ─ 32       將對應到的表格填上 1

                                                        ----------------

                                                                28.875   

                                                           ─ 16        將對應到的表格填上 1

                                                        ----------------

                                                                12.875   

                                                           ─  8        將對應到的表格填上 1

                                                         ---------------

                                                                 4.875

                                                           ─  4        將對應到的表格填上 1

                                                          ---------------

                                                                 0.875

                                                           ─  0.5      將對應到的表格填上 1

                                                        ----------------

                                                                 0.375   

                                                           ─  0.25    將對應到的表格填上 1

                                                         ---------------

                                                                0.125

                                                           ─ 0.125  將對應到的表格填上 1

                                                          ---------------

                                                                0

        即求得 (60.875)10＝(111100.111)2        

即 (60.875)10由 32 與16 與 8 與 4與0.5 與 0.25 與 0.125所組合而成的。將有組合到的數寫1，沒有填到的寫0，就是二進位之值。所以可知 28 =  256，29 =  512 ，若一年以365日計算，則須使用九位元才可表示該數目 。                       

94  (     )十進位表示法為39，其二進位表示為100111。

613(     )十進制(60.875)以二進制表示為(1)110110.111(2)101110.110(3)111100.111(4)110100.110。 

663(     )若一年以365日計算，則須使用多少位元才可表示該數目？(1)1(2)9(3)18(4)2。 

(六)十進位數字轉換為八進位

1.一般均採用除法：     

如果要將十進位整數部份變換成八進位，其方法與過程如下：

步驟１：將進位的數除以8，求其商及餘數

步驟２：若商不為1，則繼續步驟１，否則進行步驟３

步驟３：把經連除８的餘數，依序由右向左排列，而得相當的八進位數

【例】將(77)10換算成八進位

           商               餘數

77 ÷8 = 9………5    ↑

9 ÷8 ＝ 1………1    │

     ───────┘  寫法為由下而上

所以(77)10 =(115)8　

2.採簡化法：     

       將所要轉換的十進位數字先求出二進位後。因八是2的3次方，所以將此二進位從右開始，取3個一組，解出其值，便得結果。

例如:(77)10 =64 + 8 + 4 + 1= 1x26 + 1x23+1x22+1x20  =(1001101)2=(1,001,101)2=(1,1,5)8=(115)8

95(     )十進位表示法為77，其八進位表示為166。

(七)十進位數字轉換為十六進位

1.一般均採用除法：     

如果要將十進位整數部份變換成十六進位，其方法與過程如下：

步驟１：將進位的數除以16，求其商及餘數

步驟２：若商不為1，則繼續步驟１，否則進行步驟３

步驟３：把經連除16的餘數，依序由右向左排列，而得相當的八進位數

【例】將(100)10換算成十六進位

                商            餘數

100 ÷16 = 6…………4   ↑

        ────────┘  寫法為由下而上

所以(100)10 =(64)16　

2.採簡化法：     

       將所要轉換的十進位數字先求出二進位後。因十六是2的4次方，所以將此二進位從右開始，取4個一組，解出其值，便得結果。

例如:(17)10 =16 +  1= 1x24 + 1x20  =(10001)2=(1,0001)2=(1,1)16=(11)16

96(    )十進位表示法為100，其十六進位表示為64。

554(    )10進制表示法的17在16進制中應如何表示？(1)17(2)11(3)10(4)21。

(八)二進位數字轉換為八進位

1.採簡化法：     

       因八是2的3次方，所以將此二進位從右開始，取3個一組，解出其值，便得結果。

例如: (1010101)2=(1,010,101)2=(1,2,5)8=(125)8

91(     ) 二進位表示法為1010101，其八進位表示法為126。

(九)二進位數字轉換為十六進位

1.採簡化法：     

       因十六是2的4次方，所以將此二進位從右開始，取4個一組，解出其值，便得結果。

例如:1.(11000011)2=(1100,0011)2=(C,3)16=(C3)16

            2.(1101001)2=(110，1001)2=(6,9)16=(69)16  
            3.(1011，1001，1100，0011)2=(B,9,C,3)16=(B9C3)16

93  (     )二進位表示法為11000011，其十六進位表示法為C4。

576(     )二進制數值1101001轉換為十六進制時，其值為(1)69(2)39(3)8A(4)7A。 

615(     )二進制1011，1001，1100，0011以十六進制表示為(1)C9E3(2)A9D3(3)B9C3(4)C8E4。 
 (十)八進位數字轉換為二進位

1.採簡化法：     

       因八是2的3次方，所以將此每個八進位從右開始，化為3個一組的二進位後，解出其值，便得結果。

例如:(66)8 =(110,110)2=(110110)2

102(     )八進位表示法為66，其二進位表示為110111。

(十一)十六進位數字轉換為二進位

1.採簡化法：     

       因十六是2的4次方，所以將此每個十六進位從右開始，化為4個一組的二進位後，解出其值，便得結果。

例如:(F0)16 =(1111,0000)2=(11110000)2

99(     )十六進位表示法為F0，其二進位表示為00001111。

(十二)八進位數字轉換為十六進位

1.採簡化法：     

       將所要轉換的八進位數字先求出二進位後再轉換為十六進位。因八是2的3次方，所以將此每個八進位從右開始，化為3個一組的二進位後，綜合全部二進位，因十六是2的4次方，所以將此二進位從右開始，取4個一組，解出其值，便得結果。

例如:1.(777)8 =(111,111,111)2=(1,1111,1111)2=(1,F,F)16=(1FF)16

         2.(2345.67)8 =(10,011,100,101.110,111)2=(100,1110,0101.1101,1100)2=(4,E,5.D,C)16=(4E5.DC)16

         3.(456)8 =(100,101,110)2=(1,0010,1110)2=(1,2,E)16=(12E)16
100(     )八進位表示法為777，其十六進位表示為1FF。

628(     )請將下列八進位數值轉換成十六進位：(2345.67)8=(   )16(1) (59.13)16(2) (95.13)16(3) (45E.DC)16(4) (4E5.DC)16。

632(     )請換算右列之數值，(456)8=(   )16(1)12F(2)12E(3)12D(4)228。  

(十三)十六進位數字轉換為八進位

1.採簡化法：     

       將所要轉換的十六進位數字先求出二進位後再轉換為八進位。因十六是2的4次方，所以將此每個十六進位從右開始，化為4個一組的二進位後，綜合全部二進位，因八是2的3次方，所以將此二進位從右開始，取3個一組，解出其值，便得結果。

例如:(1A1B)16=(1,1010,0001,1011)2=(1,101,000,011,011)2=(1,5,0,3,3)8=(15033)8

98(     )十六進位表示法為1A1B，其八進位表示為6684。

(十四)二進位加法運算

　　要領:1. 0＋0=0

                 2. 0＋1=1

                 3. 1＋1=10(唸壹零)

　　例:

                     1101

               ＋) 1011

             ----------------

                    11000           ←逢”二”進一且變為0

(十五)八進位加法運算

　　要領: 相當於十進制的加法，只是其為『逢八進位』。          

　　例:

                                        ( 23.4)8

               ＋ ( 56.4)8

             ----------------

                   (102.0)8           ←逢”八”進一且變為0

627(     )下列兩個八進位數值之和為何？(23.4)+(56.4)= (1) (66.0) (2) (102.0) (3) (79.8)8(4) (515.10)。 

(十六)二進制減法運算

　　　要領:1. 0－0=0

                     2. 1－1=0

                     3. 1－0=1

                     4. 0－1=1(向左位借一來減)

　　　例:

                      11011                                             27

                －  10010             相當於十進制    －18

              ----------------           ===========>  ----------

                      01001                                               9

(十七)補數運算

　　電腦最基本的運算方式為加法。 因電腦上為了簡化減法與除法的電路設計，因此，遂採用補數的方法來表示負數。利用加法，加其負數(用2的補數表示法代替)，即得減法功效。若利用8 bit來表達整數型態資料，且最左位元0代表正數，1代表負數，負數與正數間互為2的補數，則可表示之範圍為 -128∼+127，即-2n-1∼+2n-1。

1的補數求法：要領:將1變 0，0 變1。

　　　例如:求(00001101)的1's補數------->為(11110010)

27  (     )若利用8 bit來表達整數型態資料，且最左位元0代表正數，1代表負數，負數與正數間互為2的補數，則可表示之範圍為0∼255。

584(     )電腦最基本的運算方式為何？(1)加法(2)除法(3)減法(4)乘法。 

574(     )通常電腦內部表示負的整數是用(1)2的補數表示法(2)8的補數表示法(3)10的補數表示法(4)9的補數表示法。 

597(     )00001101之1的補數是？(1)11110011(2)11110010(3)10001101(4)00001110。 

2的補數求法：要領:先求1的補數，把結果加1。

            例如: 求(1101111001)2的2'S補數

　　　       1101111001 →  將1變 0，0 變1

                   0010000110 ← 1'S補數

              ＋)                  1 → 把結果加1

           ─────────────

                    0010000111 ← 2'S補數              

587(     )1101111001之2的補數為下列何者？(1)1111111001(2)1101111010(3)0010000111(4)0010000110。 

631(     )二進位數值 01101101，其2的補數值為(1)01101101(2)10010010(3)10010011(4)01101110。

(十八)同位檢查(Parity Checking)

二進位編碼所組成的資料在運用時，通常會另加一個bit，用來檢查資料是否正確，此bit稱為同位檢查(Parity Checking)，它是一項資料錯誤檢查的技術，例如：011110100中的1之個數為5，為具有奇同位性，而111111110中的1之個數為8，為具有偶同位性。

603(     )同位檢查(Parity Checking)是一項資料錯誤檢查的技術，下列何者不具有偶同位性？(1)111111110(2)101110000(3)011110100(4)011100001。

623(     )二進位編碼所組成的資料在運用時，通常會另加一個bit，用來檢查資料是否正確，此bit稱為(1)check bit(2)extended bit(3)parity bit(4)redundancy bit。

﹝課後測驗﹞ 

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