高斯(C.F.Gauss 1777~1855)引理:
f(x)是整係數多項式,若f(x)在Q內可以分解,則f(x)在Z內亦可以分解

1986年,我給高三學生的一次小考中,有一題是牛頓定理的證明,有一個學生是這樣 寫的:
假設a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₁x+a₀=(px-q)(b_n-1x^n-1+b_n-1x^n-2+…+b₁x+b₀) ,比較最高次項與常數項係數,則a_n=pb_n-1,a₀=-qb₀
所以p是a_n的因數,q是a₀的因數.

我當然打錯.為什麼呢?
因為b_n-1,b_n-2,…b₁,b₀是整 數這件事是要用到高斯引理的(大概在大二代數),並不那麼明顯.所以還是要用課 本那樣的證法.

有一年聯考考三角形面積海侖(Heron)公式的證明,即三角形面積 =某補習班在第二天發行的答案是這樣證明的:
因為sinC/2=,cosC/2=, 所以
三角形面積=(1/2)absinC=ab(sinC/2)(cosC/2)=ab =,得證.

基本上,等價於,或,所以這 樣的證明是不合格的,因為它犯了邏輯上的錯誤,後來我們再看參考書,便不再有 如此的證明.

近世代數p219--康明昌--聯經