等 價

我們在國中時有這樣的性質p:三角形任兩邊和大於第三邊,又在參考書的同一個角落看到q:三角形任兩邊差小於第三邊.

我們很容易證明”,這種情形我們叫p與q等價,意思是p與q是同一回事
如果我考你”試證p成立”,你就不可以從q出發,直接證得p.
那麼你應該如何證明p成立?

以下舉一些等價的例子

  1. p:平行公設:過直線外一點恰有一直線與之平行
    q:三角形內角和為180度
  2. G是三角形ABC的重心,則p,q,r三個向量式等價
    p:,q: ,r:
  3. p:,q:
  4. p:算幾不等式
    q:Cauchy不等式
  5. p:周長固定的平面圖形中以圓形面積最大.
    q:面積固定的平面圖形中以圓形周長最小.
    r:一平面圖形的等周商以圓最大.
  6. (1)正弦定理 (2)餘弦定理 (3)投影定理 等價

如何在高中引入簡易邏輯是一件值得思考的事,沒有數學內容的邏輯教學是空洞的,在教學過程中順便引入邏輯的觀念應該可行.
1900年量子力學開始萌芽,到1965年朝永振一郎(S.Tomonaga),薛文格(Julian Schwinger) ,費曼得到諾貝爾物理獎是一段精采的故事,重點是薛文格與費曼對量子電動力學的看法與算法南轅北轍,把兩者結合為一,或者說,看出兩者的"等價性"的是戴森(Freeman J. Dyson),我覺得這比證明兩命題的等價有更深遠的意義.
非歐幾何的發展有類似的地方,義大利幾何學家Eugenio Beltrami(1835-1899) 證明了Lobachevsky(1793-1856) 與Ferdinand Minding(1806-1885)的非歐幾何模型是"等價"的.

  1. 柯西不等式與排序不等式p.230--------- 上海教育出版社:由排序原理可推出包括平均值不等式,柯西不等式等多個重要不等式
  2. 天才之旅p61--------------------------有幾個與平行公設等價的定理.
  3. 宇宙波瀾(就是Dyson回憶錄)------------天下文化
  4. 宇宙的詩篇p84------------------------天下文化
  5. 非歐幾里得幾何學p.32-----------------水牛出版社