曲線族

直線L a1x+b1y+c1=0,M a2x+b2y+c2=0,兩線交於點A;則對任意實數k, (a1x+b1y+c1)+k(a2x+b2y+c 2)=0--- (1)表示通過點A的直線族。 反之,通過L,M兩線交點的直線一定能表為(1)的形式。 記得很久以前曾經看過這樣的證明,似乎長篇大論,還用到向量空間這樣高級的觀念。

今年(1998)推荐甄選,台大數學系考了這麼一題:
直線L0:ax+by+c=0與圓C0:x2+y2+dx+ey+f=0 相交於P1,P2兩相異點。
若k為一實數,則顯然C x2+y2+dx+ey+f+k(ax+by+c)=0通過P1,P2兩點。

試證:任一通過P1,P2兩點的圓必為x2+y2+dx+ey+f+k(ax+by+c)=0,其中k為某一實數。

假設通過P1,P2的圓為x2+y2+d'x+e'y+f'=0
則(x2+y2+d'x+e'y+f')-(x2+y2+dx+ey+f)=0 顯然表示通過 P1,P2的直線;
所以(d'-d)x+(e'-e)y+(f'-f)=0即直線ax+by+c=0

故存在一實數k,使得 d'-d=ka,e'-e=kb,f'-f=kc,d'=d+ka,e'=e+kb,f'=f+kc,得證

曲線族是一個重要觀念,最近在科學教育月刊上看到一篇不錯的文章(參考書目1,證明的部分請看文章內容),我把它稱為"同軸曲線族".過其上任一點P的切點的弦會被"直徑"平分.

[1]25x2+4y2=100,P(-1,4),求以P為中點的弦方程式
因為25x2+4y2=100的同軸曲線族25x2+4y2=k, 通過P,所以k=25+64=89
過25x2+4y2=89上的點P(-1,4)的切線為25x-16y=89即為所求

  1. y=2x2-3x+2的同軸曲線族為y=2x2-3x+k
  2. xy=4,P(1,5),求以P為中點的弦方程式
    因為xy=4的同軸曲線族為xy=k,通過P,所以k=5
    所以所求的弦為5x+y=10

  1. 科學教育月刊221期 (基隆市私立二信高中 楊健民) p.15
  2. 牛頓雜誌1990/6[康明昌]
  3. 微積分上冊凡異出版社(華羅庚)                  p.90