尺規作圖

我國古代以規矩作圖,規就是圓規,矩由長短兩尺合成,相交成一直角,尺上有刻度,短尺叫勾,長尺叫股,為 了堅固起見,兩者之間還連上一條竿.

相較之下,古希臘人研究幾何問題,限制使用沒有刻度的尺與圓規,在有限步驟內作圖.提出如此限制的大概是Oenopides(公元前465年),以後由於柏拉圖的大力提倡,歐幾里德又把它總結在"幾何原本"中.

因此引發了尺規作圖的三個難題,其中之一是不能三等分任意角(參考書目中,華羅庚書中有精闢的說明);但是如果允許尺有刻度,就可以把任意角三等分.

至於為什麼中國人的尺有刻度,希臘人的尺沒有,這與文化的發展有關,大致上是這樣說的,中國古代數學發展是偏向歸納,實用,而希臘人是偏向演繹與哲學思考.

現在,我們把尺規作圖當作是"演算法"的一個例子.

  1. 介紹尺規作圖的文章很多,像平面幾何新路,華羅庚科普選集,傳播季刊都有,"最有學問的"是大概與計算幾何(Computational Geometry)有關的書.
  2. 歐幾里德對幾何的主要貢獻有二:

    包含一個演算法(algorithm)與證明的基模(schema).符合了現代演算法的所有要求,即清楚的 (unambiguous),確切的(correct),有限步驟的(terminating),可惜由於歸謬證法在很多場合比建構法更省事,直到二十世紀建構主義興起,才再度被重視.因此我們可以說 Euclid是建構主義的鼻祖?!

  3. 波斯數學家阿勒-霍瓦里松在825年左右寫了一本"代數對話錄",提出"演算法"一詞 ,"演算法"在電腦理論裡是重要的概念.桃園高中陳傳義兄寄了一篇"秦九韶大衍求一術的電腦計算" 一文(桃中學報第11期)給我,就是一個實例.
  4. Lorenzo Mascheroni(1797年)證明只用圓規可以作所有尺規作圖的題目,震驚了數學界,後來發現 Georg Mohr在1672年已經證明了此事.比較簡單的證明是用圓的反演(inversion),不用反演幾何的證明請看美國數學月刊(The American Mathematical Monthly)101卷8期
  5. 古希臘幾何三大問題:
    1. 方圓問題:求作一正方形,使其面積與半徑為1的圓相等.
    2. 倍立方問題:求作一個正立方體,使其體積與邊長為1的正方體的2倍.
    3. 三等分角問題

    解決三大問題,引發了超越數的研究,這是數學發展史是以問題為導向(Problem Oriented)的重點.

  6. 1796年,高斯(Carl Friedrich Gauss)是年方十幾的小伙子,他用尺規作出正十七邊形(heptadecagon),於是決定當數學家,最後成為十九世紀最偉大的數學家.
  7. 有一克重的黏土一塊,與一只能把黏土平分的天平,能否在有限步驟內稱出1/3克的黏土?
  1. 華羅庚科普著作選集,亞東書局   p202~p205
  2. 皇帝新腦--藝文印書館,第二章
  3. 平面幾何新路--張景中
  4. 幾個有名的數學問題     p45--康明昌--數學傳播季刊選輯
  5. 阿草的葫蘆             p.
  6. "給平面上三點A,B,C,只能圓規作圖,求三角形ABC的外心(用反演作的)"------科學教育月刊 207期 p25