對n>2的自然數皆成立插值法
高三期末考有這麼一題 試證 對n>2的自然數皆成立
通常的做法是這樣的
假設f(x)=
,則
因為
>0 for x
3 ,所以f(x)在x
3以後是漸增函數,原命題得證.
原命題中,n是自然數,是離散的,所定義的f(x)是一個連續函數;許多同學或直接對離散的函數微分,或看到n就做數學歸納法,值得商榷.
實驗或觀察得到的數據是離散的(discrete),如何由離散的數據得到連續的(continuous)函數,其方法叫做插值法,是研究自然界現象的一個重要的方法.
大家都知道n階乘 n!=n(n-1)(n-2)...(2)(1);可能出於好奇心,十八世紀的數學家想知道如何定義一個分數的階乘.
1729年尤拉(Leonhard Euler 1707~1783)在給他的朋友Goldbach的信中宣布他已解決了這個問題.
=
=
= 
若x>0 則
收斂,其收斂值稱為
,則
(1)
(2)
for 自然數n
清大沈昭亮先生是我的偶像之一,以下所述是筆者1991年在清大修碩士班學分時沈教授的講義.
待續