Zeno詭論

古希臘有許多有名,有著作的幾何學家,其中Zeno以Zeno Paradox(詭論)聞名.

Zeno詭論幾乎在每一本微積分課本上都會看到,容我再贅述一下:
假設有一隻烏龜在阿基里斯前面100公尺處,速度是阿基里斯的倍,兩者賽跑;當阿基里 斯跑完這100公尺,烏龜在前面10公尺處,當阿基里斯跑完這10公尺,烏龜在前面1公尺處,當 阿基里斯跑完這1公尺,烏龜在前面1/10公尺處,...Zeno說:所以烏龜永遠在阿基里斯 前面.

Zeno詭論一般而言我們把它當作是因為極限的觀念沒有建立所產生的,中國古代也有所謂 "飛矢不動"之說.我個人倒是蠻喜歡方勵 之先生物理的觀點.

方勵之是中國有名的天文物理學家,更是民主鬥士,他的書有中國文人的學養,最新的科學 見解;他的勇氣在天安門事件中表露無疑.以下是方先生的見解:

任何一種具有重複性的過程,都可以做為"鐘".在Zeno詭論中有兩個不同的時間度量.
假設阿基里斯與烏龜在開始時的距離為L,速度分別為u,v;如果用普通的鐘,則阿基里斯 將在時,趕上烏龜,當時,阿基里斯就超過烏龜了.

但是在詭論中,Zeno用了另一個鐘,該鐘使用的重複性過程是:阿基里斯逐次地到達烏龜 在前一次的出發點.我們稱之為Zeno鐘,它測得的時間為t'. 對任何t',阿基里斯永遠在烏龜後面,這是Zeno的結論.其錯誤來自於t'的局限性,它沒法 度量之後的時間.較詳細的內容請看書目2.

古希臘人Eulathlus向Protagoras學習辯論術,先付一半學費,另一半學費訂定契約,言明 等學成後在第一場辯護勝訴時再付,如果敗訴,則學費不必再交.
但Eulathlus畢業後,根本不擔任辯護的工作,自然也不交另一半的學費,因此Protagoras 便告他.
Protagoras說:如果我勝訴,法官當然要判他還我學費;如果我敗訴,那就是Eulathlus勝訴, 依契約他還是要還我學費.
Eulathlus說:如果我勝訴,當然是法官判我不必還學費,如果我敗訴,依契約我也不必還學費

以上的兩難辯論(dilemma)取自王九逵先生"邏輯與數學思維"一書,個人覺得與Zeno詭論 有異曲同工之妙.至於法官該怎麼判?我不要剝奪你思考的權利.

註:詭論(paradox)的產生,通常表示當時所要表達的概念,並沒有建立完成,例如 羅素詭論之於集合論.上面龜兔賽跑的例子,若考慮時間的級數兔子就可以在有限時間內追上烏龜
極限觀念的建立(build up)是在十六世紀.
我們可以希望老師讓學生"當堂記住概念"嗎?,個人以為概念的建立是經由不斷的操作 演練而達成,你說呢?